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By Carl Friedrich Gauß, Heinrich Simon

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Und da man aus der Definition der Function W allgemein hat . 1 1 1 1 1 [69] Wx-ll'y=-x+l+y+l -x+2+y+2-x+3 + ... so ergiebt sich die bekannte Reihe 1t 1 1 1 1 cotang Z'lt = - - - - + - - - - z 1-z 1+z 2-z 1 +---- 1- + · .. e+ w(z- ~)+IV(~-~)+-·· somit, wenn wir + '-Jl (z- n n 1)= nW nz- nlogn z = 0 setzen, [7 I] W (- ~) + IJJ' ( - ~) + W (- ~) + ··· + W (- n-: 1 ) = ( n- 1) WO - So ist z. B. lJi' (- ~) = WO- 2 Iog2 = - 1,96351 00260 21423 47944 099, woraus weiter W~= + 0,03648 99739 78576 52055 901.

Obgleich die Function II(k, z) allgemeiner erscheint, als llz, wird sie uns doch für die Folge entbehrlich, da sie sich leicht auf letztere zurückfUhren lässt. IIz fi(k+z) ' z Uebrigens ist der Zusammenhang dieser Functionen mit denen, die Herr Kramp numerische Faculfäten genannt hat, von selbst ersichtlich. 6) 35 Dritter Abschnitt. 23. Die Stetigkeit der Function n~ wird unterbrochen, sobald ihr Wert unendlich gross wird, d. h. für negative ganzzahlige Werte von s. e einen unendlich grossenWert annimmt, so wird es zwischen ihnen einen kleinsten Wert geben, der, wie wir gefunden haben, = 0,8856024 ist und dem Werte z = 0,4616321 entspricht.

L. J. = 0 oder fL = 1 - 1 gesetzt wird; der letztere Wert liefert 0 = P' (aß + a + ß+ 1 - 2"( - a1 - ßr + n) dP' - dx (2-')'-(a + ß + 3- 2r)x) - ddP' dx 2 (x- xx). Beim Vergleich dieser Gleichung mit 80, deren Form ganz dieselbe ist, zeigt sich, dass, was dort P, a, ß, 1 war, hier P', a + 1 - "(, ß + 1 - "(, 2 - 1 ist: da wir aber das vollständige Integral jener Gleichung angegeben haben, so wird P' offenbar unter der Formel + 1-r, ß+ 1 - r, 2-r, x) + NF(rJ. Abschnitt. l, ß, 1 abhängen werden. 42.

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